C++ Bc. 4

Řešení soustavy lineárních rovnic

Napište funkci reseni(), která pro zadanou horní trojúhelníkovou matici $\mathbf {T}$ a vektor $\mathbf {b}$ vypočte řešení soustavy lineárních rovnic $\mathbf {Tx=b}$. Funkce reseni() přepisuje vstupní vektor (pravou stranu) vypočteným řešením $x$ a testuje všechny možné chyby (nepřípustné dimenze a nulu na hlavní diagonále).

struct Chyba
{
   template <typename T> Chyba(T t) : text(t) {}

   std::string text;
};

void reseni(const GNU_gama::Mat<>& U, GNU_gama::Vec<>& x);

V horní trojúhelníkové matici $\mathbf {T}$ jsou všechny prvky pod hlavní diagonalou nulové, všechny prvky na hlavní diagonále jsou nenulové.

${\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}&\ldots &t_{1n}\\0&t_{22}&t_{23}&\ldots &t_{2n}\\0&0&t_{33}&\ldots &t_{3n}\\&&&\ldots &\\0&0&\ldots &t_{n-1,n-1}&t_{n-1,n}\\0&0&\ldots &0&t_{nn}\end{pmatrix}}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n-1}\\b_{n}\end{pmatrix}}$

Řešení (zpětná substituce):

$x_{n}=b_{n}/t_{nn}\,$

$x_{n-1}=(b_{n-1}-t_{n-1,n}x_{n})/t_{n-1,n-1}\,$

$x_{n-2}=(b_{n-2}-t_{n-2,n-1}x_{n-1}-t_{n-2,n}x_{n})/t_{n-2,n-2}\,$

$x_{n-k}=(b_{n-k}-\sum _{j=n-k-1}^{1}t_{n-k,j}x_{j})/t_{n-k,n-k}\,$

Příklad:

${\begin{pmatrix}3&0&3&4&1\\0&1&4&2&1\\0&0&1&0&2\\0&0&0&2&6\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}33\\27\\13\\38\\15\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{pmatrix}}\qquad$

[ Zpět | C++ | Další ]