C++ Bc. 32

Řešení soustavy lineárních rovnic

Napište funkci reseni(), která pro zadanou dolní trojúhelníkovou matici $\mathbf {T}$ a vektor $\mathbf {b}$ vypočte řešení soustavy lineárních rovnic $\mathbf {Tx=b}$. Funkce reseni() přepisuje vstupní vektor (pravou stranu) vypočteným řešením $x$ a testuje všechny možné chyby (nepřípustné dimenze a nulu na hlavní diagonále).

struct Chyba
{
   template <typename T> Chyba(T t) : text(t) {}

   std::string text;
};

void reseni(const GNU_gama::Mat<>& U, GNU_gama::Vec<>& x);

V dolní trojúhelníkové matici $\mathbf {T}$ jsou všechny prvky nad hlavní diagonalou nulové, všechny prvky na hlavní diagonále jsou nenulové.

${\begin{pmatrix}t_{11}&0&0&\ldots &0\\t_{21}&t_{22}&0&\ldots &0\\t_{31}&t_{32}&t_{33}&\ldots &0\\&&&\ldots &\\t_{n-1,1}&t_{n-1,2}&\ldots &t_{n-1,n-1}&0\\t_{n1}&t_{n2}&\ldots &t_{n,n-1}&t_{nn}\end{pmatrix}}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n-1}\\b_{n}\end{pmatrix}}$

Řešení (přímá substituce):

$x_{1}=b_{1}/t_{11}\,$

$x_{2}=(b_{2}-t_{21}x_{1})/t_{22}\,$

$x_{3}=(b_{3}-t_{31}x_{1}-t_{32}x_{2})/t_{33}\,$

$x_{k}=(b_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}t_{k,j}x_{j})/t_{k,k}\,$

Příklad:

${\begin{pmatrix}3&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\3&4&1&0&0\\4&2&0&2&0\\1&1&2&6&3\end{pmatrix}}\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}3\\2\\14\\16\\48\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{pmatrix}}\qquad$

[ Zpět | C++ | Další ]