152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3: Porovnání verzí
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
==Zadání úlohy== | ==Zadání úlohy== | ||
Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...). | Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...). | ||
==Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)== | |||
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. <math>P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1</math> a <math>P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x</math>, kde <math>x=\sin \theta</math>, <math>y=\cos \theta</math> a <math>\theta</math> značí polární úhel <math>\pi/2-\Phi</math>. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme: | |||
'''Diagonální prvky:''' | |||
<math>P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}</math> | |||
'''Subdiagonální prvky:''' | |||
<math>P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_2=\sqrt{2n+1}</math> | |||
'''Obecné prvky:''' | |||
<math>P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}</math>, kde <math>\alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}</math> a <math>\beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}</math> | |||
Totožnou rekurenci, v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/VYG2/web_data/uloha1/Legendreovy_funkce.pdf zde]. Derivací rekurentních vztahů podle <math>\theta</math> (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru: | |||
<math>\left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0</math> | |||
'''pozn.''': Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru <math>\cos \theta</math>, kterou my zde nezavádíme. | |||
==Numerické zadání úlohy== | ==Numerické zadání úlohy== |
Verze z 30. 3. 2010, 11:05
Zadání úlohy
Pro zadanou zeměpisnou šířku vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte . Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. a , kde , a značí polární úhel . Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:
Diagonální prvky:
, kde
Subdiagonální prvky:
, kde
Obecné prvky:
, kde a
Totožnou rekurenci, v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
pozn.: Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru , kterou my zde nezavádíme.
Numerické zadání úlohy
číslo zadání | n,m | číslo zadání | n,m | ||
1 | 26 | 15,4 | 23 | -5 | 17,8 |
2 | 25 | 15,5 | 24 | -6 | 17,9 |
3 | 24 | 15,6 | 25 | -7 | 17,10 |
4 | 23 | 15,7 | 26 | -8 | 17,11 |
5 | 22 | 15,8 | 27 | -9 | 17,12 |
6 | 21 | 15,9 | 28 | -10 | 17,13 |
7 | 20 | 15,10 | 29 | -11 | 17,14 |
8 | 19 | 15,11 | 30 | -12 | 18,4 |
9 | 18 | 15,12 | 31 | -13 | 18,5 |
10 | 17 | 16,4 | 32 | -14 | 18,6 |
11 | 16 | 16,5 | 33 | -15 | 18,7 |
12 | 15 | 16,6 | 34 | -16 | 18,8 |
13 | 14 | 16,7 | 35 | -17 | 18,9 |
14 | 13 | 16,8 | 36 | -18 | 18,10 |
15 | 12 | 16,9 | 37 | -19 | 18,11 |
16 | 11 | 16,10 | 38 | -20 | 18,12 |
17 | 10 | 16,11 | 39 | -21 | 18,13 |
18 | 9 | 16,12 | 40 | -22 | 18,14 |
19 | 8 | 17,4 | 41 | -23 | 18,15 |
20 | 7 | 17,5 | 42 | -24 | 19,4 |
21 | 6 | 17,6 | 43 | -25 | 19,5 |
22 | 5 | 17,7 | 44 | -26 | 19,6 |