C++ Bc. 2: Porovnání verzí

Aktuální verze z 27. 11. 2006, 20:50

Mocninná metoda

Napište funkci, která pro zadanou čtvercovou diagonalizovatelnou matici $\mathbf {A} \in R^{n\times n}$ vypočítá odhad jejího dominantního vlastního čísla $\lambda _{\max }$ .

double dominantni_vlastni_cislo_matice(const GNU_gama::Mat<>& A, double rel_chyba = 1e-5);

Algoritmus:

zvolíme libovolný jednotkový vektor $q_{0}\in R^{n}$ (můžeme zvolit libovolný nenulový vektor)
vypočteme vektor $z_{i}=\mathbf {A} q_{i-1}$
$\lambda _{i}=||z_{i}||,\,$ kde $||z_{i}||\,$ označuje euklidovskou normu vektoru $z_{i}$ .
vypočteme vektor $q_{i}=z_{i}/\lambda _{i}$ (tj. $q_{i}$ je normovaný vektor $z_{i}$ )
posloupnost $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\lambda _{3},...$ konverguje k hodnotě $\lambda _{\max }.$ Opakujeme krok 2, dokud není dosažena požadovaná relativní přesnost odhadu $\lambda _{\max }$ (např. na 4 dekadické cifry).

Příklad:

Pro matici ${\begin{pmatrix}-261&209&-49\\-530&422&-98\\-800&631&-144\end{pmatrix}}$ je $\lambda _{\max }=10$

Pro matici ${\begin{pmatrix}-261&0&-49\\-530&422&-98\\-800&631&-144\end{pmatrix}}$ je $\lambda _{\max }=339.3771$

[ Zpět | C++ | Další ]

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
-Napište funkci, která pro zadanou čtvercovou (pozitivně definitní) matici <math>\mathbf{A}</math> vypočítá odhad jejího maximálního vlastního čísla <math>\lambda_\max</math>.
+;[http://en.wikipedia.org/wiki/Power_method Mocninná metoda]
+Napište funkci, která pro zadanou čtvercovou diagonalizovatelnou matici <math>\mathbf{A} \in R^{n\times n} </math> vypočítá odhad jejího dominantního vlastního čísla <math>\lambda_\max</math>.
+ double dominantni_vlastni_cislo_matice(const GNU_gama::Mat<>& A, double rel_chyba = 1e-5);
 '''Algoritmus:'''
-# zvolíme libovolný nenulový vektor <math>v_0</math> stejné dimenze, jako je rozměr matice <math>\mathbf{A}</math>
+# zvolíme libovolný jednotkový vektor <math>q_0 \in R^n</math> &nbsp; (můžeme zvolit libovolný nenulový vektor)
-# vypočteme vektor <math>w_i = \mathbf{A}v_{i-1}</math> vypočteme vektor
+# vypočteme vektor <math>z_i = \mathbf{A}q_{i-1}</math>
-# vypočteme euklidovskou normu <math>\lambda_i = ||w_i||</math>
+# <math>\lambda_i = ||z_i||,\,</math> kde <math>||z_i||\,</math> označuje euklidovskou normu vektoru <math>z_i</math>.
-# vypočteme vektor <math>v_i = w_i \times (1/\lambda_i), </math> tj. normujeme wektor <math>w_i</math> na velikost 1
+# vypočteme vektor <math>q_i = z_i / \lambda_i</math> (tj. <math>q_i</math> je normovaný vektor <math>z_i</math>)
-# posloupnost <math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ... </math> konverguje k hodnotě <math>\lambda_\max.</math> Opakujeme krok 2, dokud neni dosažena požadovaná relativní přesnost odhadu (např. na 4 dekadické cifry).
+# posloupnost <math>\lambda_1,\,\lambda_2, \lambda_3, ... </math> konverguje k hodnotě <math>\lambda_\max.</math> Opakujeme krok 2, dokud není dosažena požadovaná relativní přesnost odhadu <math>\lambda_\max</math> (např. na 4 dekadické cifry).
+'''Příklad:'''
+Pro matici
+<math>\begin{pmatrix}
+ -261 & 209 & -49\\
+ -530 & 422 & -98\\
+ -800 & 631 & -144
+\end{pmatrix}</math>
+je <math>\lambda_\max = 10</math>
+Pro matici <math>\begin{pmatrix}
+ -261 &   0 &  -49 \\
+ -530 & 422 &  -98 \\
+ -800 & 631 & -144
+\end{pmatrix}</math>
+je <math>\lambda_\max = 339.3771</math>
+[ [[C++ Bc.|Zpět]] | [[C++ Bc. 2 cpp|C++]] | [[C++ Bc. 3|Další]] ]
-'''Příklad:'''  Pro matici
+[[Kategorie:Programování]]
-   99  204   88  116
-  131  171   55   45
-  171  279  108   97
-   55  108  106   44
-   45   97   44   71
-je <math>\lambda_\max = 639.6488</math>