155TG3 Teoretická geodézie 3 / úloha 2

Název úlohy

Přímá a obrácená gravimetrická úloha

Zadání úlohy

Příklad 1

V homogenním prostředí hustoty Σ je v hloubce h uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru a a hustotě σ. Vypočtěte a graficky zobrazte gradienty gravitačního potenciálu Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_z} , Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{zz}} , Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{zzz}} a Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{zx}} tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu x. Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh uvedených gradientů gravitačního potenciálu pro homogenní kouli týchž parametrů. Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál. Výsledky prezentujte v geodetických jednotkách mGal, E, E/m.

Příklad 2

Z naměřených tíhových dat v okolí předpokládaného výskytu anomálního tělesa byly sestaveny grafy průběhů anomálních zrychlení a jeho gradientů. Na základě geologického průzkumu se předpokládá, že se jedná o anomální těleso kulového, popř. liniového tvaru. Pro zadaný typ anomálního tělesa odvoďte vztahy mezi hloubkou uložení tohoto tělesa a polohou význačných bodů daných grafů (tj. průsečíky s osou x, extrémy apod.). Pro dvojici zadaných gradientů určete hloubku těžiště tělesa pomocí těchto vztahů. Výsledky porovnejte a okomentujte jejich přesnost.

Součástí odevzdání bude též výpočet vztahů jednotlivých gradientů obou zkoumaných anomálních těles (př.1) i výpočet vztahů pro určení jejich hloubek uložení (př.2).

Numerické zadání

Příklad 1

Numerické zadání naleznete v adresáři http://athena.fsv.cvut.cz:8000/TG3/pgu/zadani v souboru tg3_2023_u2_xx.m, kde xx je číslo zadání.

Hodnoty společné pro všechna zadání jsou:

hustota prostředí: Σ = 2,75 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}}

poloměr anomálního tělesa: a = 150 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m}

výpočetní profil: x od -2000 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} do 2000 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m}

gravitační konstanta: G = Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6,6726.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}

Individuální zadání dále obsahuje hloubku uložení h a hustotu anomálního tělesa σ.

Pozn.:

hustota 2,75 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je průměrná hustota zemské kůry ( taktéž hustota většiny minerálů se pohybuje mezi 2,6 - 2,8 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} )

hustota 2,09 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota grafitu

hustota 5,10 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota pyritu

hustota 7,86 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota železa

Příklad 2

Grafické průběhy zadaných anomálních zrychlení a jeho gradientů naleznete v adresáři http://athena.fsv.cvut.cz:8000/TG3/pgu/zadani v souborech tg3_2023_u2_xx_a.png a tg3_2023_u2_xx_b.png, kde xx je číslo zadání.

Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení TGD3.

Dokumenty ke stažení

Obrázek se schematickými průběhy vybraných gradientů gravitačního potenciálu pro některé tvary anomálního tělesa je k dispozici zde.

Doplňující literatura:

M.Pick, J.Pícha, V.Vyskočil: Úvod ke studiu tíhového pole Země. Academia 1973. Kap.XIV: Matematické základy gravimetrické interpretace, s.357-393.