152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha4
Zadání úlohy
Pro zadanou zeměpisnou šířku vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte . Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. a , kde , a značí polární úhel . Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:
Diagonální prvky:
, kde
Subdiagonální prvky:
, kde
Obecné prvky:
, kde a
Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
.
pozn.: Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru , kterou my zde nezavádíme. (viz Associated Legendre function na wikipedii).
Numerické zadání úlohy
číslo zadání | n,m | číslo zadání | n,m | ||
1 | 26 | 15,4 | 23 | -5 | 17,8 |
2 | 25 | 15,5 | 24 | -6 | 17,9 |
3 | 24 | 15,6 | 25 | -7 | 17,10 |
4 | 23 | 15,7 | 26 | -8 | 17,11 |
5 | 22 | 15,8 | 27 | -9 | 17,12 |
6 | 21 | 15,9 | |||
7 | 20 | 15,10 | |||
8 | 19 | 15,11 | |||
9 | 18 | 15,12 | |||
10 | 17 | 16,4 | |||
11 | 16 | 16,5 | |||
12 | 15 | 16,6 | |||
13 | 14 | 16,7 | |||
14 | 13 | 16,8 | |||
15 | 12 | 16,9 | |||
16 | 11 | 16,10 | |||
17 | 10 | 16,11 | |||
18 | 9 | 16,12 | |||
19 | 8 | 17,4 | |||
20 | 7 | 17,5 | |||
21 | 6 | 17,6 | |||
22 | 5 | 17,7 |