152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha4: Porovnání verzí
Bez shrnutí editace |
|||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
==Zadání úlohy== | ==Zadání úlohy== | ||
Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...). | |||
==Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)== | |||
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. <math>P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1</math> a <math>P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x</math>, kde <math>x=\sin \theta</math>, <math>y=\cos \theta</math> a <math>\theta</math> značí polární úhel <math>\pi/2-\Phi</math>. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme: | |||
'''Diagonální prvky:''' | |||
<math>P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}</math> | |||
'''Subdiagonální prvky:''' | |||
<math>P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_2=\sqrt{2n+1}</math> | |||
'''Obecné prvky:''' | |||
<math>P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}</math>, kde <math>\alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}</math> a <math>\beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}</math> | |||
Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/VYG2/web_data/uloha1/Legendreovy_funkce.pdf zde]. Derivací rekurentních vztahů podle <math>\theta</math> (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru: | |||
<math>\left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0</math>. | |||
'''pozn.''': Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru <math>\cos \theta</math>, kterou my zde nezavádíme. (viz [http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function Associated Legendre function na wikipedii]). | |||
==Numerické zadání úlohy== | |||
{| class="border" | |||
{| class = "border" | |číslo zadání | ||
| číslo zadání | | |<math>\phi [{}^\circ]</math> | ||
| | |n,m | ||
| | |číslo zadání | ||
| | |<math>\phi [{}^\circ]</math> | ||
| | |n,m | ||
|- | |- | ||
| | | 1 || 26 || 15,4 || 23 || -5 || 17,8 | ||
|- | |- | ||
| | | 2 || 25 || 15,5 || 24 || -6 || 17,9 | ||
|- | |- | ||
| | | 3 || 24 || 15,6 || 25 || -7 || 17,10 | ||
|- | |- | ||
| | | 4 || 23 || 15,7 || 26 || -8 || 17,11 | ||
|- | |- | ||
| | | 5 || 22 || 15,8 || 27 || -9 || 17,12 | ||
|- | |- | ||
| | | 6 || 21 || 15,9 || 28 || -10 || 17,13 | ||
|- | |- | ||
| | | 7 || 20 || 15,10 || 29 || -11 || 17,14 | ||
|- | |- | ||
| | | 8 || 19 || 15,11 || 30 || -12 || 18,4 | ||
|- | |- | ||
| | | 9 || 18 || 15,12 || 31 || -13 || 18,5 | ||
|- | |- | ||
| | | 10 || 17 || 16,4 || 32 || -14 || 18,6 | ||
|- | |- | ||
| | | 11 || 16 || 16,5 || 33 || -15 || 18,7 | ||
|- | |- | ||
| | | 12 || 15 || 16,6 || 34 || -16 || 18,8 | ||
|- | |- | ||
| | | 13 || 14 || 16,7 || 35 || -17 || 18,9 | ||
|- | |- | ||
| | | 14 || 13 || 16,8 || 36 || -18 || 18,10 | ||
|- | |- | ||
| | | 15 || 12 || 16,9 || 37 || -19 || 18,11 | ||
|- | |- | ||
| | | 16 || 11 || 16,10 || 38 || -20 || 18,12 | ||
|- | |- | ||
| | | 17 || 10 || 16,11 || 39 || -21 || 18,13 | ||
|- | |- | ||
| | | 18 || 9 || 16,12 || 40 || -22 || 18,14 | ||
|- | |- | ||
| | | 19 || 8 || 17,4 || 41 || -23 || 18,15 | ||
|- | |- | ||
| | | 20 || 7 || 17,5 || 42 || -24 || 19,4 | ||
|- | |- | ||
| | | 21 || 6 || 17,6 || 43 || -25 || 19,5 | ||
|- | |- | ||
| | | 22 || 5 || 17,7 || 44 || -26 || 19,6 | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
[[Kategorie:Výuka]] | [[Kategorie:Výuka]] |
Verze z 4. 2. 2011, 10:39
Zadání úlohy
Pro zadanou zeměpisnou šířku vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte . Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. a , kde , a značí polární úhel . Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:
Diagonální prvky:
, kde
Subdiagonální prvky:
, kde
Obecné prvky:
, kde a
Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
.
pozn.: Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru , kterou my zde nezavádíme. (viz Associated Legendre function na wikipedii).
Numerické zadání úlohy
číslo zadání | n,m | číslo zadání | n,m | ||
1 | 26 | 15,4 | 23 | -5 | 17,8 |
2 | 25 | 15,5 | 24 | -6 | 17,9 |
3 | 24 | 15,6 | 25 | -7 | 17,10 |
4 | 23 | 15,7 | 26 | -8 | 17,11 |
5 | 22 | 15,8 | 27 | -9 | 17,12 |
6 | 21 | 15,9 | 28 | -10 | 17,13 |
7 | 20 | 15,10 | 29 | -11 | 17,14 |
8 | 19 | 15,11 | 30 | -12 | 18,4 |
9 | 18 | 15,12 | 31 | -13 | 18,5 |
10 | 17 | 16,4 | 32 | -14 | 18,6 |
11 | 16 | 16,5 | 33 | -15 | 18,7 |
12 | 15 | 16,6 | 34 | -16 | 18,8 |
13 | 14 | 16,7 | 35 | -17 | 18,9 |
14 | 13 | 16,8 | 36 | -18 | 18,10 |
15 | 12 | 16,9 | 37 | -19 | 18,11 |
16 | 11 | 16,10 | 38 | -20 | 18,12 |
17 | 10 | 16,11 | 39 | -21 | 18,13 |
18 | 9 | 16,12 | 40 | -22 | 18,14 |
19 | 8 | 17,4 | 41 | -23 | 18,15 |
20 | 7 | 17,5 | 42 | -24 | 19,4 |
21 | 6 | 17,6 | 43 | -25 | 19,5 |
22 | 5 | 17,7 | 44 | -26 | 19,6 |