152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3
Zadání úlohy
Pro zadanou zeměpisnou šířku Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{nm}(\sin \Phi)} a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_{max}=30} . Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1} a Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x} , kde Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\sin \theta} , Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\cos \theta} a Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} značí polární úhel Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi/2-\Phi} . Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:
Diagonální prvky:
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}} , kde Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}}
Subdiagonální prvky:
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}} , kde Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_2=\sqrt{2n+1}}
Obecné prvky:
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}} , kde Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}} a Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}}
Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0} .
pozn.: Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \theta} , kterou my zde nezavádíme. (viz Associated Legendre function na wikipedii).
Numerické zadání úlohy
číslo zadání | Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi [{}^\circ]} | n,m | číslo zadání | Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi [{}^\circ]} | n,m |
1 | 26 | 15,4 | 23 | -5 | 17,8 |
2 | 25 | 15,5 | 24 | -6 | 17,9 |
3 | 24 | 15,6 | 25 | -7 | 17,10 |
4 | 23 | 15,7 | 26 | -8 | 17,11 |
5 | 22 | 15,8 | 27 | -9 | 17,12 |
6 | 21 | 15,9 | 28 | -10 | 17,13 |
7 | 20 | 15,10 | 29 | -11 | 17,14 |
8 | 19 | 15,11 | 30 | -12 | 18,4 |
9 | 18 | 15,12 | 31 | -13 | 18,5 |
10 | 17 | 16,4 | 32 | -14 | 18,6 |
11 | 16 | 16,5 | 33 | -15 | 18,7 |
12 | 15 | 16,6 | 34 | -16 | 18,8 |
13 | 14 | 16,7 | 35 | -17 | 18,9 |
14 | 13 | 16,8 | 36 | -18 | 18,10 |
15 | 12 | 16,9 | 37 | -19 | 18,11 |
16 | 11 | 16,10 | 38 | -20 | 18,12 |
17 | 10 | 16,11 | 39 | -21 | 18,13 |
18 | 9 | 16,12 | 40 | -22 | 18,14 |
19 | 8 | 17,4 | 41 | -23 | 18,15 |
20 | 7 | 17,5 | 42 | -24 | 19,4 |
21 | 6 | 17,6 | 43 | -25 | 19,5 |
22 | 5 | 17,7 | 44 | -26 | 19,6 |