Normální rozdělení

Normální rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné náhodné veličiny $X$

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$, hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny$X\dots f_{X}$

$f_{X}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma _{X}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}}$

$\mu _{X}\dots$ střední hodnota náhodné veličiny $X\,,\;\mu _{X}:=E(X)$,

$\sigma _{X}^{2}\dots$ variance náhodné veličiny $X\,,\;\sigma _{X}^{2}:=var(X)$.

Normální rozdělení pravděpodobnosti dvojrozměrného náhodného vektoru $[X,Y]$

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$, $Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$, hustota pravděpodobnosti náhodného vektoru $[X,Y]\dots f_{X,Y}$ .

 Pokud jsou náhodné veličiny $X,Y$ vzájemně nezávislé, pak jejich hustota pravděpodobnosti je:  

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)={\frac {1}{{2\pi }\,\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}+\left({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)^{2}\right)}$

 Pokud jsou náhodné veličiny $X,Y$ statisticky závislé, tj. $f_{X,Y}(x,y)\neq f_{X}(x)\,f_{Y}(y)$, pak platí:

$f_{X,Y}(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\mathbf {C} |}}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {C} ^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}$

$\mathbf {x} :=[x,y]$,

${\boldsymbol {\mu }}\dots$ vektor středních hodnot náhodného vektoru $[X,Y]$, ${\boldsymbol {\mu }}:=\left[E(X),E(Y)\right]^{T}$,

$\mathbf {C} \dots$ kovarianční matice, $\mathbf {C} :=\left[{\begin{array}{cc}\sigma _{X,X}&\sigma _{X,Y}\\\sigma _{Y,X}&\sigma _{Y,Y}\end{array}}\right]:=\left[{\begin{array}{cc}var(X)&cov(X,Y)\\cov(Y,X)&var(Y)\end{array}}\right]$,

$var(X)\dots$ variance náhodné veličiny $X$,

$cov(X,Y)\dots$ kovariance náhodných veličin $X,Y$.

Více na české wikipedii

Zpět na stránku cvičení