152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha4

Zadání úlohy

Pro zadanou zeměpisnou šířku $\Phi$ vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce $P_{nm}(\sin \Phi )$ a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte $n_{max}=30$. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).

Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)

Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. $P_{0,0}(\sin \Phi )=P_{0,0}(\cos \theta )=1$ a $P_{1,1}(\cos \theta )=3^{1/2}x$, kde $x=\sin \theta$, $y=\cos \theta$ a $\theta$ značí polární úhel $\pi /2-\Phi$. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:

Diagonální prvky:

$P_{n,n}=a_{1}xP_{n-1,n-1}$, kde $a_{1}={\sqrt {\frac {2n+1}{2n}}}$

Subdiagonální prvky:

$P_{n,n-1}=a_{2}yP_{n-1,n-1}$, kde $a_{2}={\sqrt {2n+1}}$

Obecné prvky:

$P_{n,m}=\alpha yP_{n-1,m}-\beta P_{n-2,m}$, kde $\alpha ={\sqrt {\frac {(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}}$ a $\beta ={\sqrt {\frac {(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}}$

Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle $\theta$ (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:

$\left[n(n+1)\sin \theta -{\frac {m^{2}}{\sin \theta }}\right]P_{n,m}+\cos \theta P_{n,m}^{'}+\sin \theta P_{n,m}^{''}=0$.

Doplňkové materiály

Přehled normalizací

Legendreovy fce na Mathworld

pozn. Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru $\cos \theta$, kterou my zde nezavádíme. (viz Associated Legendre function na wikipedii).

Numerické zadání úlohy

číslo zadání	$\phi [{}^{\circ }]$	n,m	číslo zadání	$\phi [{}^{\circ }]$	n,m
1	26	15,4	23	-5	17,8
2	25	15,5	24	-6	17,9
3	24	15,6	25	-7	17,10
4	23	15,7	26	-8	17,11
5	22	15,8	27	-9	17,12
6	21	15,9
7	20	15,10
8	19	15,11
9	18	15,12
10	17	16,4
11	16	16,5
12	15	16,6
13	14	16,7
14	13	16,8
15	12	16,9
16	11	16,10
17	10	16,11
18	9	16,12
19	8	17,4
20	7	17,5
21	6	17,6
22	5	17,7