152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha4: Porovnání verzí

Z GeoWikiCZ
VizuálníWikitext
 
(Není zobrazeno 19 mezilehlých verzí od stejného uživatele.)
Řádek 1: Řádek 1:
==Název úlohy==
Transformace souřadnic z ETRF2000 do S-JTSK
==Zadání úlohy==
==Zadání úlohy==
Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
;Příklad 1
Ze zpracování GNSS observací byly na daném bodě určeny elipsoidické souřadnice bodu v Evropském terestrickém referenčním rámci ETRF2000. Zadané souřadnice přetransformujte do systému S-JTSK/05, který by se měl v budoucnu stát závazným souřadnicovým systémem na území České republiky. Neboť je z rozhodnutí ČUZK dosud stále závazným polohovým souřadným systémem S-JTSK (a nikoli S-JTSK/05), pokračujte v transformaci obdržených polohových souřadnic v S-JTSK/05 do S-JTSK při použití zvoleného typu kvadratické (popř.kubické) interpolace tabelovaných korekcí dY, dX.
;Příklad 2
Pro ověření výsledků transformace provedené v příkladu 1 proveďte taktéž její inverzní postup, tj. přetransformujte souřadnice získané v systému S-JTSK do ETRF2000. Obdržené hodnoty srovnejte s hodnotami výchozími.
 


==Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)==
Jako numerický výstup dokumentující průběh provedené transformace jsou požadovány dílčí mezivýsledky jednotlivých kroků transformace (přičemž standartní Křovákovo zobrazení lze považovat za jeden ucelený krok). Veškeré souřadnice uvádějte s přesností odpovídající milimetrům.
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. <math>P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1</math> a <math>P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x</math>, kde <math>x=\sin \theta</math>, <math>y=\cos \theta</math> a <math>\theta</math> značí polární úhel <math>\pi/2-\Phi</math>. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:


'''Diagonální prvky:'''
'''Odlehlosti kvazigeoidu CR2005''' v rastru 1' x 1,5' naleznete v textovém souboru [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/CR-2005_v1005.dat CR-2005_v1005.dat].


<math>P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}</math>
'''Tabulka korekcí dY, dX''' pro transformaci mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK v rastru 2 x 2km je k dispozici v textovém souboru [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/table_yx_3_v1202.dat table_yx_3_v1202.dat].


'''Subdiagonální prvky:'''
==Numerické zadání==
Numerické zadání souřadnic bodu v referenčním rámci ETRF2000 naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/zadani v souboru '''zfg_2014_u4_xx.m''', kde '''xx''' je číslo zadání. Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení ZFG.


<math>P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_2=\sqrt{2n+1}</math>
==Dokumenty ke stažení==
Metodiku transformace mezi ETRF2000 a S-JTSK včetně potřebných numerických hodnot transformačních parametrů jednotlivých výpočetních kroků obsahuje soubor [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/Metodika-prevodu-ETRF2000-vs.-S-JTSK-var2.pdf Metodika převodu.pdf].


'''Obecné prvky:'''
Bližší informace o zavedení systému S-JTSK/05 naleznou zájemci v technické zprávě [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/TZ-1153-2010.pdf TZ-1153-2010.pdf].


<math>P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}</math>, kde <math>\alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}</math> a <math>\beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}</math>
'''Upozornění k transformaci mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK:'''


Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/VYG2/web_data/uloha1/Legendreovy_funkce.pdf zde]. Derivací rekurentních vztahů podle <math>\theta</math> (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
Oba výše uvedené dostupné dokumenty, stejně jako oficiální dokument, který je doposud k dispozici na stránkách ČÚZK (viz http://www.cuzk.cz/Dokument.aspx?PRARESKOD=998&MENUID=0&AKCE=DOC:10-NR_ETRS89), obsahují chybu ve znaménku korekcí dY,dX v transformačních rovnicích mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK. Správná podoba vztahu mezi souřadnicemi obou systémů je následující:
* <math style="color:#ff0000"> Y_{JTSK} = Y_{JTSK/05} - 5 000 000 - dY </math>
* <math style="color:#ff0000"> X_{JTSK} = X_{JTSK/05} - 5 000 000 - dX </math>
Při převodu z S-JTSK/05 do S-JTSK se tedy vyinterpolované korekce dY,dX '''odečítají''' (a nikoli přičítají, jak  uvádí veškeré dostupné dokumenty). A naopak, při převodu z S-JTSK do S-JTSK/05 se korekce dY,dX přičítají.


<math>\left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0</math>.
<!--
==Název úlohy==
Hladinové plochy normálního pole


==Doplňkové materiály==
==Zadání úlohy==
[http://www.ipgp.fr/~wieczor/SHTOOLS/www/conventions.html Přehled normalizací]
;Příklad 4.1
Na základě definice normálního pole GRS80 určete průběh hladinových ploch pro dva případy referenční plochy: 1) uvážíte-li pouze člen <math>C_{20}</math> (<math>-J_{2}</math>) ve sféricko-harmonickém rozvoji odpovídající rozlišení Clairautova sféroidu a 2) uvážíte-li členy <math>C_{20}</math>, <math>C_{40}</math> (<math>-J_{2}, -J_{4}</math>) odpovídající rozlišení sféroidu Helmertova. Pro obě tělesa vypočtěte průběh hladinové plochy v nulové výšce a ve výšce H nad rovníkem (<math>\phi</math> = 0°). Na základě průběhu této dvojice hladinových ploch sledujte sbíhavost hladinových ploch daného tělesa a vyslovte závěr o gradientu sbíhavosti hladinových ploch obou zkoumaných sféroidů. Všechny výsledky znázorněte graficky v závislosti na zeměpisné šířce v kroku 5°.


[http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLegendrePolynomial.html Legendreovy fce na Mathworld]
;Příklad 4.2
Vypočtěte a zobrazte průběh normálního tíhového zrychlení na povrchu Clairautova a Helmertova sféroidu (za <math>\rho</math> dosaďte průvodič hladinové plochy <math>U_0</math> příslušného tělesa z př.4.1) a dále též na povrchu hladinové rotující koule a hladinového rotujícího elipsoidu (použijte rovnici Somiglianovu). Krok výpočtu zvolte opět 5° zeměpisné šířky. Výsledky pro jednotlivá tělesa vzájemně srovnejte.


'''pozn.'''
==Doplňkový materiál==
Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru <math>\cos \theta</math>, kterou my zde nezavádíme. (viz [http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function Associated Legendre function na wikipedii]).
O definici geodetického referenčního systému GRS80 stručně [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/web_data/grs80-definition.pdf zde], popř. podrobněji [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/web_data/grs80-Moritz.pdf zde] nebo [http://en.wikipedia.org/wiki/GRS_80 zde].


==Numerické zadání úlohy==
Jak vypadá tíhový potenciál a tíže, když odečteme vliv normálního pole, uvidíte např. [http://www.csr.utexas.edu/grace/gravity/gravity_definition.html zde].


{| class="border"
==Numerické zadání==
|číslo zadání
{|
|<math>\phi [{}^\circ]</math>  
|-
|n,m  
| align = right | <math> GM_{Earth}</math> || = || 3 986 005.10<sup>8</sup> ||[<math>m^3.s^{-2}</math>]
|číslo zadání
|-
|<math>\phi [{}^\circ]</math>
| align = right | <math>C_{20}</math> || = || -1 082,63.10<sup>-6</sup> || [-]
|n,m  
|-
| align = right | <math>C_{40}</math> || = || 2,37091222.10<sup>-6</sup> || [-]
|-
| align = right | a || = || 6 378 137 || [m]
|-
| align = right | <math>\omega</math> || = || 7 292 115.10<sup>-11</sup> || [rad.s<sup>-1</sup>]
|-
| colspan = "4" | Parametry hladinové rotující koule
|-
| align = right | R || = || 6 371 000,7900 || [m]
|-
| colspan = "4" | Další vybrané parametry hladinového rotačního elipsoidu GRS80:
|-
| align = right | b || = || 6 356 752,3141 || [m]
|-
| align = right | <math> \gamma_a </math> || = || 9,7803267715 || [<math>m.s^{-2}</math>]
|-
| align = right | <math> \gamma_b </math> || = || 9,8321863685 || [<math>m.s^{-2}</math>]
|-
| align = right | <math> f_4 </math> || = || 0,0000232955287 || [-]
|}
 
{| class = "border"
| číslo zadání || H [m]
|-
| 1||    100.000
|-
| 2||    150.000
|-
| 3||    200.000
|-
| 4||    250.000
|-
| 5||    300.000
|-
|-
| 1 || 26 || 15,4 || 23 || -5 || 17,8
| 6||     350.000
|-
|-
| 2 || 25 || 15,5 || 24 || -6 || 17,9
| 7||     400.000
|-
|-
| 3 || 24 || 15,6 || 25 || -7 || 17,10
| 8||     450.000
|-
|-
| 4 || 23 || 15,7 || 26 || -8 || 17,11
| 9||     500.000
|-
|-
| 5 || 22 || 15,8 || 27 || -9 || 17,12
|10||     550.000
|-
|-
| 6 || 21 || 15,9 || || ||
|11||     600.000
|-
|-
| 7 || 20 || 15,10 || || ||
|12||     650.000
|-
|-
| 8 || 19 || 15,11 || || ||
|13||     700.000
|-
|-
| 9 || 18 || 15,12 || || ||
|14||     750.000
|-
|-
| 10 || 17 || 16,4 || || ||
|15||     800.000
|-
|-
| 11 || 16 || 16,5 || || ||
|16||     850.000
|-
|-
| 12 || 15 || 16,6 || || ||
|17||     900.000
|-
|-
| 13 || 14 || 16,7 || || ||
|18||     950.000
|-
|-
| 14 || 13 || 16,8 || || ||
|19||   1000.000
|-
|-
| 15 || 12 || 16,9 || || ||
|20||   1050.000
|-
|-
| 16 || 11 || 16,10 || || ||
|21||   1100.000
|-
|-
| 17 || 10 || 16,11 || || ||
|22||   1150.000
|-
|-
| 18 || 9 || 16,12 || || ||
|23||   1200.000
|-
|-
| 19 || 8 || 17,4 || || ||
|24||   1250.000
|-
|-
| 20 || 7 || 17,5 || || ||
|25||   1300.000
|-
|-
| 21 || 6 || 17,6 || || ||
|26||   1350.000
|-
|-
| 22 || 5 || 17,7 || || ||
|27||   1400.000
|-
|-
|28||    1450.000
|}
|}


Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení ZFG.
-->
<!--
<!--
==Název úlohy==
Legendreovy přidružené funkce a jejich derivace
==Zadání úlohy==
Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
==Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)==
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. <math>P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1</math> a <math>P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x</math>, kde <math>x=\sin \theta</math>, <math>y=\cos \theta</math> a <math>\theta</math> značí polární úhel <math>\pi/2-\Phi</math>. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:
'''Diagonální prvky:'''
<math>P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}</math>
'''Subdiagonální prvky:'''
<math>P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_2=\sqrt{2n+1}</math>
'''Obecné prvky:'''
<math>P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}</math>, kde <math>\alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}</math> a <math>\beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}</math>
Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/VYG2/web_data/uloha1/Legendreovy_funkce.pdf zde]. Derivací rekurentních vztahů podle <math>\theta</math> (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
<math>\left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0</math>.
==Doplňkové materiály==
[http://www.ipgp.fr/~wieczor/SHTOOLS/www/conventions.html Přehled normalizací]
[http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLegendrePolynomial.html Legendreovy fce na Mathworld]
'''pozn.'''
Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru <math>\cos \theta</math>, kterou my zde nezavádíme. (viz [http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function Associated Legendre function na wikipedii]).
==Numerické zadání==
{| class="border"
{| class="border"
|číslo zadání
|číslo zadání
Řádek 138: Řádek 223:
| 22 || 5 || 17,7 || 44 || -26 || 19,6
| 22 || 5 || 17,7 || 44 || -26 || 19,6
|-
|-
|}-->
|}
 
-->
 
----
[[Kategorie:Výuka]]
[[152ZFG Základy fyzikální geodézie | 152ZFG Základy fyzikální geodézie]]
{{Teoretická geodézie}}

Aktuální verze z 12. 4. 2014, 02:25

Název úlohy

Transformace souřadnic z ETRF2000 do S-JTSK

Zadání úlohy

Příklad 1

Ze zpracování GNSS observací byly na daném bodě určeny elipsoidické souřadnice bodu v Evropském terestrickém referenčním rámci ETRF2000. Zadané souřadnice přetransformujte do systému S-JTSK/05, který by se měl v budoucnu stát závazným souřadnicovým systémem na území České republiky. Neboť je z rozhodnutí ČUZK dosud stále závazným polohovým souřadným systémem S-JTSK (a nikoli S-JTSK/05), pokračujte v transformaci obdržených polohových souřadnic v S-JTSK/05 do S-JTSK při použití zvoleného typu kvadratické (popř.kubické) interpolace tabelovaných korekcí dY, dX.

Příklad 2

Pro ověření výsledků transformace provedené v příkladu 1 proveďte taktéž její inverzní postup, tj. přetransformujte souřadnice získané v systému S-JTSK do ETRF2000. Obdržené hodnoty srovnejte s hodnotami výchozími.


Jako numerický výstup dokumentující průběh provedené transformace jsou požadovány dílčí mezivýsledky jednotlivých kroků transformace (přičemž standartní Křovákovo zobrazení lze považovat za jeden ucelený krok). Veškeré souřadnice uvádějte s přesností odpovídající milimetrům.

Odlehlosti kvazigeoidu CR2005 v rastru 1' x 1,5' naleznete v textovém souboru CR-2005_v1005.dat.

Tabulka korekcí dY, dX pro transformaci mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK v rastru 2 x 2km je k dispozici v textovém souboru table_yx_3_v1202.dat.

Numerické zadání

Numerické zadání souřadnic bodu v referenčním rámci ETRF2000 naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/etrf2jtsk/zadani v souboru zfg_2014_u4_xx.m, kde xx je číslo zadání. Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení ZFG.

Dokumenty ke stažení

Metodiku transformace mezi ETRF2000 a S-JTSK včetně potřebných numerických hodnot transformačních parametrů jednotlivých výpočetních kroků obsahuje soubor Metodika převodu.pdf.

Bližší informace o zavedení systému S-JTSK/05 naleznou zájemci v technické zprávě TZ-1153-2010.pdf.

Upozornění k transformaci mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK:

Oba výše uvedené dostupné dokumenty, stejně jako oficiální dokument, který je doposud k dispozici na stránkách ČÚZK (viz http://www.cuzk.cz/Dokument.aspx?PRARESKOD=998&MENUID=0&AKCE=DOC:10-NR_ETRS89), obsahují chybu ve znaménku korekcí dY,dX v transformačních rovnicích mezi systémy S-JTSK/05 a S-JTSK. Správná podoba vztahu mezi souřadnicemi obou systémů je následující:

  • Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{JTSK} = Y_{JTSK/05} - 5 000 000 - dY }
  • Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_{JTSK} = X_{JTSK/05} - 5 000 000 - dX }

Při převodu z S-JTSK/05 do S-JTSK se tedy vyinterpolované korekce dY,dX odečítají (a nikoli přičítají, jak uvádí veškeré dostupné dokumenty). A naopak, při převodu z S-JTSK do S-JTSK/05 se korekce dY,dX přičítají.

152ZFG Základy fyzikální geodézie

Citováno z „https://geo.fsv.cvut.cz/index.php?title=152ZFG_Základy_fyzikální_geodézie_-_úloha4&oldid=28807“