152YFYG Fyzikální geodézie - úloha 2

Název úlohy

Gravitační potenciál a jeho derivace

Zadání úlohy

1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče R a střední hustoty $\sigma$ konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách h_i a též nad jejím povrchem ve výškách H_i volených podle vlastního uvážení. Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí.

2. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry R₁, R₂, R₃ a hustotách $\sigma$₁ a $\sigma$₂. Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním" prostoru i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa. Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte.

Numerické zadání

R = $6,371.10^{6}m$

G = $6,672.10^{-11}m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$\sigma$ = $5,520.10^{3}kg.m^{-3}$

h_i = (33, 413, 984, 2898, 4000, 5120, 6371) $km$

H_i = (0, ..., 25000) $km$

kruh 61:

R₃ = R

R₂ = R₃ - n . 2 km

R₁ = R₂ - 100 km

$\sigma$₁ = $2,67.10^{3}kg.m^{-3}$

$\sigma$₂ = $3,35.10^{3}kg.m^{-3}$

kruh 62:

R₃ = R

R₂ = R₃ - n . 1 km

R₁ = R₂ - 100 km

$\sigma$₁ = $2,80.10^{3}kg.m^{-3}$

$\sigma$₂ = $3,71.10^{3}kg.m^{-3}$

kruh 63:

R₃ = R

R₂ = R₃ - n . 1,5 km

R₁ = R₂ - 100 km

$\sigma$₁ = $2,75.10^{3}kg.m^{-3}$

$\sigma$₂ = $3,66.10^{3}kg.m^{-3}$

Velikost n bude přidělena jednotlivcům na cvičení.