155TG3 Teoretická geodézie 3 / úloha 2
Název úlohy
Přímá a obrácená gravimetrická úloha
Zadání úlohy
Příklad 1
V homogenním prostředí hustoty Σ je v hloubce ζ uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru a a hustotě σ. Vypočtěte a graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_z} , Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{zz}} , Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{zzz}} a Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_{xz}} tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu x. Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh uvedených derivací gravitačního potenciálu pro homogenní kouli týchž parametrů. Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál. Výsledky prezentujte v geodetických jednotkách mGal, E, E/m.
Příklad 2
Z naměřených tíhových dat v okolí předpokládaného výskytu anomálního tělesa byly sestaveny grafy průběhů tíhových zrychlení a jeho gradientů. Na základě geologického průzkumu se předpokládá, že se jedná o anomální těleso kulového, popř. liniového tvaru. Pro zadaný typ anomálního tělesa odvoďte vztahy mezi hloubkou uložení tohoto tělesa a polohou význačných bodů daných grafů (tj. průsečíky s osou x, extrémy apod.). Pro dvojici zadaných gradientů určete hloubku těžiště tělesa pomocí těchto vztahů. Výsledky porovnejte a okomentujte jejich přesnost.
Numerické zadání
Příklad 1
hustota prostředí: Σ = 2,75 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}}
poloměr tělesa: a = 200 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m}
výpočetní profil: x od -2000 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} do 2000 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m}
gravitační konstanta: G = Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6,6726.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}
hloubka uložení a hustota anomálního tělesa:
| číslo zadání | ζ[m] | σ[Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} ] |
| 1 | 300 | 5,10 |
| 2 | 320 | 2,09 |
| 3 | 340 | 7,86 |
| 4 | 360 | 5,10 |
| 5 | 380 | 2,09 |
| 6 | 400 | 7,86 |
| 7 | 420 | 5,10 |
| 8 | 440 | 2,09 |
| 9 | 460 | 7,86 |
| 10 | 480 | 5,10 |
| 11 | 500 | 2,09 |
| 12 | 520 | 7,86 |
| 13 | 540 | 5,10 |
| 14 | 560 | 2,09 |
| 15 | 580 | 7,86 |
| 16 | 600 | 5,10 |
| 17 | 620 | 2,09 |
| 18 | 640 | 7,86 |
| 19 | 660 | 5,10 |
| 20 | 680 | 2,09 |
| 21 | 700 | 7,86 |
| 22 | 720 | 5,10 |
| 23 | 740 | 2,09 |
| 24 | 760 | 7,86 |
| 25 | 780 | 5,10 |
| 26 | 800 | 2,09 |
| 27 | 820 | 7,86 |
Pozn.:
- hustota 2,75 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je průměrná hustota zemské kůry ( taktéž hustota většiny minerálů se pohybuje mezi 2,6 - 2,8 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} )
- hustota 2,09 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota grafitu
- hustota 5,10 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota pyritu
- hustota 7,86 Nelze pochopit (SVG, alternativně PNG (MathML lze povolit skrze prohlížečový plugin): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g.cm^{-3}} je hustota železa
Příklad 2
Grafické průběhy zadaných tíhových gradientů naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/TG3/pgu/zadani v souborech tg3_2017_u2_xx_a.png a tg3_2017_u2_xx_b.png, kde xx je číslo zadání.
Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení TG3.
Dokumenty ke stažení
Obrázek se schematickými průběhy vybraných derivací gravitačního potenciálu pro některé tvary anomálního tělesa je k dispozici zde.
Doplňující literatura:
- M.Pick, J.Pícha, V.Vyskočil: Úvod ke studiu tíhového pole Země. Academia 1973. Kap.XIV: Matematické základy gravimetrické interpretace, s.357-393.