155GIT1 / 2. cvičení / Příklady

• Vypište hodnotu čísla $\pi$, $-\pi$ a náhodně vygenerovaného čísla z intervalu -1 až 1:
  • na plný počet desetinných míst;
  • zaokrouhlenou směrem nahorů (k plus nekonečnu);
  • zaokrouhlenou směrem dolů (k mínus nekonečnu);
  • zaokrouhlenou k nejbližšímu celému číslu;
  • zaokrouhlenou směrem k nule (tj. vypište celou část daného čísla).

• Spočtěte velikost úhlu v pravoúhlém trojúhelníku, znáte-li velikost strany protilehlé a strany přilehlé k hledanému úhlu. Vypočtený úhel uveďte v radiánech, ve stupních i v grádech.

• Vytvořte posloupnost čísel z intervalu 0° až 360° s krokem a) 30° (vektor x1), b) 0.1° (vektor x2). Pro oba případy hodnot x vypočtěte funkční hodnoty funkcí sin x, resp. cos x (výsledky uložte do vektorů ad a) y1, ad b) y2). Pomocí příkazu plot(x2,y2,x1,y1) vykreslete graf dané goniometrické funkce při volbě hrubého (ad a)) a jemného (ad b)) kroku výpočtu.

• Vytvořte posloupnost čísel z intervalu -4 až 4 s krokem a) 1 (vektor x1), b) 0.1 (vektor x2). Pro oba případy hodnot x vypočtěte funkční hodnoty funkce $e^{x}$ (výsledky uložte do vektorů ad a) y1, ad b) y2). Pomocí příkazu plot(x2,y2,x1,y1) vykreslete graf dané exponenciální funkce při volbě hrubého (ad a)) a jemného (ad b)) kroku výpočtu.

• Vytvořte posloupnost čísel z intervalu 0.001 až 3 s krokem a) 0.2 (vektor x1), b) 0.01 (vektor x2). Pro oba případy hodnot x vypočtěte funkční hodnoty funkce ln x (výsledky uložte do vektorů ad a) y1, ad b) y2). Pomocí příkazu plot(x2,y2,x1,y1) vykreslete graf dané logaritmické funkce při volbě hrubého (ad a)) a jemného (ad b)) kroku výpočtu.

• Vytvořte zadané proměnné a postupně s nimi proveďte požadované operace:
  • Vygenerujte řádkový vektor a1 o 5 prvcích s náhodnými hodnotami z intervalu 0 až 4.
  • Vygenerujte sloupcový vektor a2 o 5 prvcích s náhodnými hodnotami z intervalu 1 až 10.
  • Vygenerujte matici A o rozměru 5x2 s náhodnými hodnotami z intervalu -3 až 3.
  • Vytvořte matici B, která vznikne z matice A připojením nových sloupců následovně: vektor a1 bude umístěn před matici A a vektor a2 za matici A.
  • Zjistěte počet řádků a počet sloupců matice B a uložte je do nových proměnných.
  • V matici B nalezněte všechny záporné hodnoty a nahraďte je hodnotou 0.
  • V matici B nalezněte všechny hodnoty větší nebo rovny 1.5 a nahraďte je hodnotou 2.
  • Spočtěte, kolik prvků vzniklé matice B má hodnotu rovnu 0 a kolik prvků má hodnotu rovnu 2.
  • Všechny prvky matice B umocněte na druhou.

• Vytvořte zadané proměnné a postupně s nimi proveďte požadované operace:
  • Vytvořte vektor c obsahující posloupnost všech sudých čísel od 2 do 10.
  • Vytvořte diagonální matici C, jejíž diagonálu bude tvořit vektor c.
  • Vytvořte nulovou matici D1 o rozměru 3x5 a připojte ji k matici C zdola.
  • Vytvořte matici D2 s hodnotami -1 o rozměru 8x3 a připojte ji k maticím C a D1 zleva. Matici vzniklou z matic C, D1 a D2 pojmenujte E.
  • Do třetího až pátého řádku matice E vložte šum tvořený náhodnými hodnotami z intervalu 0 až 4.25.
  • Do druhého a předposledního sloupce matice E vložte šum tvořený náhodnými hodnotami z intervalu -1 až 1.
  • Na pozici čtyři a pět v sedmém řádku matice E vložte šum tvořený hodnotou 3.
  • V matici E zaměňte čtvrtý a poslední sloupec.
  • Zjistěte maximální hodnotu ze všech prvků matice E.
  • Proveďte součty hodnot prvků v jednotlivých sloupcích (tj. sloupcové součty) matice E. Udejte index sloupce s největším a nejmenším součtem. Tyto sloupce vypište.
  • Proveďte součty absolutních hodnot prvků v jednotlivých řádcích matice E. Udejte index řádku s největším a nejmenším součtem absolutních hodnot. Tyto řádky vypište.
  • Z matice E odstraňte první sloupec a poslední řádek.
  • Pro vzniklou matici vypočtěte součet, průměr a medián jejích diagonálních prvků.

• Vygenerujte dvě celočíselné matice F a G o rozměru 4x4 s prvky v intervalu -2 až 2.
  • Zjistěte počet nulových prvků matic F a G.
  • Zjistěte počet nenulových prvků matic F a G.
  • Zjistěte, na kolika pozicích se matice F a G shodují (mají stejné prvky).
  • Zjistěte, na kolika pozicích jsou prvky matice F větší nebo rovny než prvky matice G.

• Pro měřené hodnoty dané veličiny vypočtěte její průměrnou hodnotu (aritmetický průměr), její medián a také směrodatnou odchylku průměrné hodnoty pomocí vztahu $m={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}{n*(n-1)}}}$, kde v je odchylka od průměru a n je počet měřených dat. Měřená data jsou:

i-té měření	1	2	3	4	5	6
měřená hodnota [cm]	21.4	21.2	21.7	21.3	21.5	21.4

Řešení: průměr = 21.417 cm, medián = 21.4 cm, m = 0.070 cm

• Nalezněte řešení soustavy lineárních rovnic (pozn.: matice koeficientů soustavy tvoří magický čtverec)

$A*x=b$ ↔ ${\begin{cases}17x_{1}+24x_{2}+x_{3}+8x_{4}+15x_{5}=175\\23x_{1}+5x_{2}+7x_{3}+14x_{4}+16x_{5}=190\\4x_{1}+6x_{2}+13x_{3}+20x_{4}+22x_{5}=245\\10x_{1}+12x_{2}+19x_{3}+21x_{4}+3x_{5}=190\\11x_{1}+18x_{2}+25x_{3}+2x_{4}+9x_{5}=175\\\end{cases}}$

Řešení: $x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=4,x_{5}=5$

• Vypočtěte směrníky (v grádové míře) ze stanoviska 4001 o souřadnicích (X,Y) = ( 20.0 , 10.0 ) pro body 1, 2, 3, 4, jejichž souřadnice jsou:

bod	X [m]	Y [m]
1	51.2	15.6
2	-8.8	24.7
3	0.0	1.4
4	42.1	-5.5

Řešení: $\sigma _{1}$ = 11.3061 gon, $\sigma _{2}$ = 169.9550 gon,

$\sigma _{3}$ = -174.1470 gon = 225.8530 gon, $\sigma _{4}$ = -38.9380 gon = 361.0620 gon

• Na stanovisku 4001 byly zaměřeny vodorovné úhly a vodorovné vzdálenosti na podrobné body. Vodorovné úhly byly měřeny od směru na bod 4002. Vypočtěte souřadnice podrobných bodů v rovině. Souřadnice bodů 4001 a 4002 a měřené hodnoty na podrobné body jsou:

bod	X [m]	Y [m]
4001	1000.00	500.00
4002	1552.84	593.23

podrobný bod	Hz-úhel [gon]	Hz-délka [m]
1	315.95	491.48
2	218.62	33.67
3	286.02	451.67
4	74.68	206.06
5	37.98	6.51
6	106.83	125.39

Řešení: $(X_{1},Y_{1})$ = (1199.33, 50.76), $(X_{2},Y_{2})$ = (969.82, 485.07),$(X_{3},Y_{3})$ = (976.28, 48.95)

$(X_{4},Y_{4})$ = (1047.11, 700.60), $(X_{5},Y_{5})$ = (1004.70, 504.50), $(X_{6},Y_{6})$ = (966.03, 620.70)