152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3

Název úlohy

Gravitační potenciál a jeho derivace

Zadání úlohy

Příklad 3.1

Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče $R$ a střední hustoty $\sigma$ konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace na jejím povrchu a ve vzdálenostech $r_{i}$ od těžiště koule podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.

Příklad 3.2

Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ a hustotách $\sigma _{1}$ a $\sigma _{2}$ . Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a ve vzdálenostech $r_{i}$ od těžiště kulové dvojvrstvy; průběhy zkoumaných funkcí přehledně vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.

Pozn.: Analytické řešení limitních případů pro jednotlivá rozhraní kulové dvojvrstvy postačí v TZ uvést pouze pro druhou radiální derivaci gravitačního potenciálu.

Doplňkový materiál

O struktuře Země - sestavte si 3D model

Numerické zadání

$G=6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$R=6371~km$

$\sigma =5520~kg.m^{-3}$

$r_{i}=[0,20000]~km$ , kde v uvedeném rozmezí zvolte dostatečný počet výpočetních bodů s ohledem na hladkost vykreslovaných křivek zkoumaných průběhů funkcí (např. 200 výpočetních bodů)

R₃ =	R
R₂ =	R₃ - 3 . ( 10 + n ) $km$
R₁ =	R₂ - ( 400 + n ) $km$
$\sigma _{2}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$2,75.10^{3}$
$\sigma _{1}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$3,64.10^{3}$

$\sigma _{2}$ je hustota vnější vrstvy, $\sigma _{1}$ je hustota vnitřní vrstvy.

Veličina n se rovná pořadovému číslu zadání studenta uvedenému na stránkách cvičení ZFG.

152ZFG Základy fyzikální geodézie