152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3

Z GeoWikiCZ

Zadání úlohy

Pro zadanou zeměpisnou šířku vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte . Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).

Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)

Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. a , kde , a značí polární úhel . Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:

Diagonální prvky:

, kde

Subdiagonální prvky:

, kde

Obecné prvky:

, kde a

Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie zde. Derivací rekurentních vztahů podle (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:

pozn.: Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru , kterou my zde nezavádíme. (viz Associated Legendre function na wiki).

Numerické zadání úlohy

číslo zadání n,m číslo zadání n,m
1 26 15,4 23 -5 17,8
2 25 15,5 24 -6 17,9
3 24 15,6 25 -7 17,10
4 23 15,7 26 -8 17,11
5 22 15,8 27 -9 17,12
6 21 15,9 28 -10 17,13
7 20 15,10 29 -11 17,14
8 19 15,11 30 -12 18,4
9 18 15,12 31 -13 18,5
10 17 16,4 32 -14 18,6
11 16 16,5 33 -15 18,7
12 15 16,6 34 -16 18,8
13 14 16,7 35 -17 18,9
14 13 16,8 36 -18 18,10
15 12 16,9 37 -19 18,11
16 11 16,10 38 -20 18,12
17 10 16,11 39 -21 18,13
18 9 16,12 40 -22 18,14
19 8 17,4 41 -23 18,15
20 7 17,5 42 -24 19,4
21 6 17,6 43 -25 19,5
22 5 17,7 44 -26 19,6