152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3: Porovnání verzí

Verze z 16. 3. 2012, 17:15

Název úlohy

Aplikace Newtonova integrálu - gravitační potenciál a jeho derivace

Zadání úlohy

1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče $R$ a střední hustoty $\sigma$ konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace na jejím povrchu a v bodech $r_{i}$ podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.

2. Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ a hustotách $\sigma _{1}$ a $\sigma _{2}$ . Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a v bodech $r_{i}$ ; průběhy zkoumaných funkcí vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.

Doplňkový materiál

O struktuře Země - sestavte si 3D model

Numerické zadání

$G=6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$R=6371~km$

$\sigma =5520~kg.m^{-3}$

$r_{i}=[0,20000]~km$ , kde v uvedeném rozmezí zvolte dostatečný počet výpočetních bodů s ohledem na hladkost vykreslovaných křivek zkoumaných průběhů funkcí (např. 200 výpočetních bodů)

	kruh 61	kruh 62
R₃	R	R
R₂	R₃ - 2 . ( 10 + n ) $km$	R₃ - 3 . ( 10 + n ) $km$
R₁	R₂ - ( 400 + n ) $km$	R₂ - ( 400 + n ) $km$
$\sigma _{2}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$2,67.10^{3}$	$2,80.10^{3}$
$\sigma _{1}$ [ $kg.m^{-3}$ ]	$3,35.10^{3}$	$3,71.10^{3}$

$\sigma _{2}$ je hustota vnější vrstvy, $\sigma _{1}$ je hustota vnitřní vrstvy.

Veličina n se rovná pořadovému číslu zadání studenta uvedenému na stránkách cvičení ZFG.

152ZFG Základy fyzikální geodézie

@@ Řádek 5: / Řádek 5: @@
 . Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''<math>R</math>''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace na jejím povrchu a v bodech '''<math>r_i</math>''' podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.
-. Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''<math>R_1</math>''', '''<math>R_2</math>''', '''<math>R_3</math>''' a hustotách '''<math>\sigma_1</math>''' a '''<math>\sigma_2</math>'''. Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a v bodech '''<math>r_i</math>'''; průběhy zkoumaných funkcí vykreslete a diskutujte. Pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska jejich spojitosti; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.
+. Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''<math>R_1</math>''', '''<math>R_2</math>''', '''<math>R_3</math>''' a hustotách '''<math>\sigma_1</math>''' a '''<math>\sigma_2</math>'''. Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a v bodech '''<math>r_i</math>'''; průběhy zkoumaných funkcí vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.
 ==Doplňkový materiál==
@@ Řádek 11: / Řádek 11: @@
 ==Numerické zadání==
 <math>G = 6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
@@ Řádek 34: / Řádek 33: @@
 |}
-'''<math>\sigma_2</math>''' je hustota vnější vrsty, '''<math>\sigma_1</math>''' je hustota vnitřní vrstvy.
+'''<math>\sigma_2</math>''' je hustota vnější vrstvy, '''<math>\sigma_1</math>''' je hustota vnitřní vrstvy.
 Veličina ''n'' se rovná pořadovému číslu zadání studenta uvedenému na stránkách cvičení ZFG.