152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3: Porovnání verzí

Z GeoWikiCZ
VizuálníWikitext
Bez shrnutí editace
Řádek 1: Řádek 1:
==Název úlohy==
Gravitační potenciál a jeho derivace
==Zadání úlohy==
==Zadání úlohy==
Pro zadanou zeměpisnou šířku <math>\Phi</math> vygenerujte rekurentními vzorci normované Legendreovy přidružené funkce <math>P_{nm}(\sin \Phi)</math> a jejich 1. a 2. derivace, kde zvolte <math>n_{max}=30</math>. Úspešnost řešení otestujte dosazením do Legendreovy diferenciální rovnice a spočtete základní charakteristiky přesnosti (střední hodnotu odchylky a RMS). Dále pro zadaný stupeň a řád určete průběh Legendreovy přidružené funkce s měnící se zeměpisnou šířkou a totéž proveďte jak s Legendreovým polynomem (m=0) příslušného stupně, tak pro m=n. Výsledky graficky zobrazte a diskutujte v závěru (průběh funkce, počet nulových bodů, proč je výhodné použít rekurentní vztahy oproti přímé definici ...).
1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''R''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách '''h<sub>i</sub>''' a též nad jejím povrchem ve výškách '''H<sub>i</sub>''' podle numerického zadání.
Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí.
 
2. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''R<sub>1</sub>''', '''R<sub>2</sub>''', '''R<sub>3</sub>''' a hustotách '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''. Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním" prostoru (dutině) i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa.  
Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte.
 
 
 
==Numerické zadání==
 
'''R''' = <math>6,371.10^6 m</math>


==Rekurence pro Legendreovy přidružené/asociované funkce (LAF)==
'''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
Při počítání rekurentními vztahy vyjdeme z normovaných hodnot LAF pro nejnižší stupně a řády, tj. <math>P_{0,0}(\sin \Phi)=P_{0,0}(\cos \theta)=1</math> a <math>P_{1,1}(\cos \theta)=3^{1/2} x</math>, kde <math>x=\sin \theta</math>, <math>y=\cos \theta</math> a <math>\theta</math> značí polární úhel <math>\pi/2-\Phi</math>. Rozdělením rekurence na tři části v rámci trojúhelníkového schéma (viz cvičení) píšeme:


'''Diagonální prvky:'''
'''<math>\sigma</math>''' = <math>5,520 g.cm^{-3}</math>


<math>P_{n,n}=a_1 x P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_1=\sqrt{\frac{2n+1}{2n}}</math>
'''h<sub>i</sub>''' = <math> [0, 33, 413, 984, 2000, 2898, 4000, 4980, 5120, 6371] km</math>


'''Subdiagonální prvky:'''
'''H<sub>i</sub>''' = <math> [0, ..., 25000] km</math>, kde v uvedeném rozmezí vhodně zvolte alespoň 20 výpočetních výšek


<math>P_{n,n-1}=a_2 y P_{n-1,n-1}</math>, kde <math>a_2=\sqrt{2n+1}</math>


'''Obecné prvky:'''
'''R<sub>3</sub>''' = R


<math>P_{n,m}=\alpha y P_{n-1,m} - \beta P_{n-2,m}</math>, kde <math>\alpha=\sqrt{\frac{(2n+1)(2n-1)}{(n+m)(n-m)}}</math> a <math>\beta=\sqrt{\frac{(2n+1)(n+m-1)(n-m-1)}{(2n-3)(n-m)(n+m)}}</math>
'''R<sub>2</sub>''' = R<sub>3</sub> - ''n'' . 2 <math>km</math>


Totožnou rekurenci v trošku jiném zápisu najdete např. na stránkách cvičení Vyšší geodézie [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/VYG2/web_data/uloha1/Legendreovy_funkce.pdf zde]. Derivací rekurentních vztahů podle <math>\theta</math> (viz cvičení) lze obdržet rekurence pro 1. a 2. derivace LAF. Tímto postupem jsou postupně vygenerovány 0., 1. a 2. derivace LAF, které lze kontrolně dosadit do Legendreovy diferenciální rovnice v odpovídajícím tvaru:
'''R<sub>1</sub>''' = R<sub>2</sub> - ( ''k'' + 7 ) . 4 <math>km</math>


<math>\left [n(n+1) \sin\theta - \frac{m^2}{\sin\theta} \right] P_{n,m} + \cos \theta P_{n,m}^' + \sin \theta P_{n,m}^{''} = 0</math>.
Hustoty vrstev '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>''' převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A') podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A' spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Numerické hodnoty Bullenova modelu A' naleznete [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/BullenAdash.jpg zde].


'''pozn.''': Na webu naleznete převážně jiné ("klasické") znění této rovnice lišící se transformací vnitřního parametru <math>\cos \theta</math>, kterou my zde nezavádíme. (viz [http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function Associated Legendre function na wikipedii]).
Velikost  ''n''  bude přidělena jednotlivcům na cvičení.
Velikost  ''k''  se rovná číslu kruhu studenta pro cvičení z FYG (88, 89 či 90).


==Numerické zadání úlohy==
<span style="color:#ff0000"> NOVĚ: </span>
Hodnoty ''n'' a ''k'' pro každého z vás jsou k dispozici [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/ul2_numzad_2010-11.pdf zde].


{| class="border"
 
|číslo zadání
<!--
|<math>\phi [{}^\circ]</math>
{|class="border"
|n,m
| || '''kruh 61''' || '''kruh 62''' || '''kruh 63''' 
|číslo zadání
|-
|<math>\phi [{}^\circ]</math>
| '''R<sub>3</sub>''' || R || R || R
|n,m
|-  
|-
| '''R<sub>2</sub>''' || R<sub>3</sub> - ''n'' . 2 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1,5 <math>km</math> 
| 1 || 26 || 15,4 || 23 || -5 || 17,8
|-  
|-
| '''R<sub>1</sub>''' || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math>
| 2 || 25 || 15,5 || 24 || -6 || 17,9
|-  
|-
| '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,67.10^3</math> || <math>2,80.10^3</math> || <math>2,75.10^3</math>
| 3 || 24 || 15,6 || 25 || -7 || 17,10
|-  
|-
| '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,35.10^3</math> || <math>3,71.10^3</math> || <math>3,66.10^3</math>
| 4 || 23 || 15,7 || 26 || -8 || 17,11
|-
| 5 || 22 || 15,8 || 27 || -9 || 17,12
|-
| 6 || 21 || 15,9 || 28 || -10 || 17,13
|-
| 7 || 20 || 15,10 || 29 || -11 || 17,14
|-
| 8 || 19 || 15,11 || 30 || -12 || 18,4
|-
| 9 || 18 || 15,12 || 31 || -13 || 18,5
|-
| 10 || 17 || 16,4 || 32 || -14 || 18,6
|-
| 11 || 16 || 16,5 || 33 || -15 || 18,7
|-
| 12 || 15 || 16,6 || 34 || -16 || 18,8
|-
| 13 || 14 || 16,7 || 35 || -17 || 18,9
|-
| 14 || 13 || 16,8 || 36 || -18 || 18,10
|-
| 15 || 12 || 16,9 || 37 || -19 || 18,11
|-
| 16 || 11 || 16,10 || 38 || -20 || 18,12
|-
| 17 || 10 || 16,11 || 39 || -21 || 18,13
|-
| 18 || 9 || 16,12 || 40 || -22 || 18,14
|-
| 19 || 8 || 17,4 || 41 || -23 || 18,15
|-
| 20 || 7 || 17,5 || 42 || -24 || 19,4
|-
| 21 || 6 || 17,6 || 43 || -25 || 19,5
|-
| 22 || 5 || 17,7 || 44 || -26 || 19,6
|-
|}
|}


Velikost ''n'' bude přidělena jednotlivcům na cvičení.
-->
<!--
'''Přímá gravimetrická úloha'''
==Zadání úlohy==
V homogenním prostředí hustoty '''Σ''' je v hloubce '''ζ''' uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru '''a''' a hustotě '''σ'''. Vypočtěte a ve vhodném měřítku graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu Vz, Vzz, Vzzz a Vxz tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu '''x'''.
Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh Vz a Vxz pro homogenní kouli týchž parametrů.
Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál.
==Numerické zadání==
''hustota prostředí:'' '''Σ''' = 2670 <math>kg.m^{-3}</math>
''poloměr tělesa:'' '''a''' = 300 <math>m</math>
''výpočetní profil:'' '''x'''  od -2000 <math>m</math> do 2000 <math>m</math>


[[Kategorie:Výuka]]
''geocentrická gravitační konstanta:'' '''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
 
''hustota a hloubka uložení tělesa:''
 
{|class="border"
!rowspan="2" | číslo zadání
!colspan="2" | kruh 61
!colspan="2" | kruh 62
!colspan="2" | kruh 63
!colspan="2" | kruh 64
!colspan="2" | kruh 65
|-
!'''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>]
|-
|  1|| 350|| 5400||  350|| 4100||  350||  1300||  350|| 4600||  350|| 1000 
|-
|  2|| 375|| 5400||  375|| 4100||  375||  1300||  375|| 4600||  375|| 1000 
|-
|  3|| 400|| 5400||  400|| 4100||  400||  1300||  400|| 4600||  400|| 1000 
|-
|  4|| 425|| 5400||  425|| 4100||  425||  1300||  425|| 4600||  425|| 1000 
|-
|  5|| 450|| 5400||  450|| 4100||  450||  1300||  450|| 4600||  450|| 1000 
|-
|  6|| 475|| 5400||  475|| 4100||  475||  1300||  475|| 4600||  475|| 1000 
|-
|  7|| 500|| 5400||  500|| 4100||  500||  1300||  500|| 4600||  500|| 1000 
|-
|  8|| 525|| 5400||  525|| 4100||  525||  1300||  525|| 4600||  525|| 1000 
|-
|  9|| 550|| 5400||  550|| 4100||  550||  1300||  550|| 4600||  550|| 1000 
|-
|  10|| 575|| 5400||  575|| 4100||  575||  1300||  575|| 4600||  575|| 1000 
|-
|  11|| 600|| 5400||  600|| 4100||  600||  1300||  600|| 4600||  600|| 1000 
|-
|  12|| 625|| 5400||  625|| 4100||  625||  1300||  625|| 4600||  625|| 1000 
|-
|  13|| 650|| 5400||  650|| 4100||  650||  1300||  650|| 4600||  650|| 1000 
|-
|  14|| 675|| 5400||  675|| 4100||  675||  1300||  675|| 4600||  675|| 1000 
|-
|  15|| 700|| 5400||  700|| 4100||  700||  1300||  700|| 4600||  700|| 1000 
|-
|  16|| 725|| 5400||  725|| 4100||  725||  1300||  725|| 4600||  725|| 1000 
|-
|  17|| 750|| 5400||  750|| 4100||  750||  1300||  750|| 4600||  750|| 1000 
|-
|  18|| 775|| 5400||  775|| 4100||  775||  1300||  775|| 4600||  775|| 1000 
|-
|  19|| 800|| 5400||  800|| 4100||  800||  1300||  800|| 4600||  800|| 1000 
|-
|  20|| 825|| 5400||  825|| 4100||  825||  1300||  825|| 4600||  825|| 1000 
|}
-->
{{Teoretická geodézie}}

Verze z 4. 2. 2011, 10:40

Název úlohy

Gravitační potenciál a jeho derivace

Zadání úlohy

1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče R a střední hustoty konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách hi a též nad jejím povrchem ve výškách Hi podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí.

2. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry R1, R2, R3 a hustotách 1 a 2. Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním" prostoru (dutině) i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa. Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte.


Numerické zadání

R =

G =

=

hi =

Hi = , kde v uvedeném rozmezí vhodně zvolte alespoň 20 výpočetních výšek


R3 = R

R2 = R3 - n . 2

R1 = R2 - ( k + 7 ) . 4

Hustoty vrstev 1 a 2 převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A') podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A' spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Numerické hodnoty Bullenova modelu A' naleznete zde.

Velikost n bude přidělena jednotlivcům na cvičení. Velikost k se rovná číslu kruhu studenta pro cvičení z FYG (88, 89 či 90).

NOVĚ: Hodnoty n a k pro každého z vás jsou k dispozici zde.

Citováno z „https://geo.fsv.cvut.cz/index.php?title=152ZFG_Základy_fyzikální_geodézie_-_úloha3&oldid=19115“