152ZFG Základy fyzikální geodézie - úloha3: Porovnání verzí

Z GeoWikiCZ
 
(Není zobrazeno 19 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.)
Řádek 1: Řádek 1:
==Název úlohy==
==Název úlohy==
Aplikace Newtonova integrálu - gravitační potenciál a jeho derivace
Geodetická úloha na kouli a na elipsoidu


==Zadání úlohy==
==Zadání úlohy==
1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''R''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete v bodech '''<math>r</math><sub>i</sub>''' hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.  
;Příklad 1
Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi <math> B_A, L_A </math> bodu A a azimutem v tomto bodu <math> \alpha_A </math>. Vypočítejte pomocí vzorců sférické trigonometrie souřadnice <math> B_B, L_B </math> a azimut <math> \alpha_B </math> v bodě B, který leží na této geodetické křivce v zadané vzdálenosti <math> s_{AB} </math> od bodu A. Výpočet proveďte na náhradní referenční kouli; poloměr této referenční koule volte roven střednímu poloměru křivosti Besselova elipsoidu v bodě A. Výsledek porovnejte s výsledkem příkladu 2.


2. Nyní uvážíme dvě homogenní kulové vrstvy o tloušťkách daných poloměry '''R<sub>1</sub>''', '''R<sub>2</sub>''', '''R<sub>3</sub>=R''' a hustotách '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''. Spočtěte opět hodnoty výše uvedených funkcí v '''<math>r</math><sub>i</sub>''', náležitě vše vykreslete a diskutujte. Porovnejte také případ koule a kulových vrstev, a to zejména chování funkcí na rozhraních, pro která můžete najít oporu také v analytickém vyjádření funkcí(limitní případy).
;Příklad 2
Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi <math> B_A, L_A </math> bodu A a azimutem v tomto bodu <math> \alpha_A </math>. Vypočítejte souřadnice <math> B_B, L_B </math> a azimut <math> \alpha_B </math> v bodě B, který leží na této geodetické křivce ve vzdálenosti <math> s_{AB} </math> od bodu A. Dále pro zadanou geodetickou křivku vypočítejte průsečík s nultým poledníkem a azimut geodetické křivky v tomto bodě. Geodetickou úlohu řešte na Besselově elipsoidu; zadané numerické hodnoty jsou shodné se zadáním příkladu 1.


==Doplňkový materiál==
;Příklad 3
[http://web.ics.purdue.edu/~braile/edumod/threedearth/threedearth.htm O struktuře Země 1]
Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi <math> B_A, L_A </math> bodu A a geodetickými souřadnicemi <math> B_B, L_B </math> bodu B (souřadnice jsou shodné se zadanými, resp. vypočtenými souřadnicemi bodů A, B z příkladu 2). Vypočítejte vzdálenost <math> s_{AB} </math> bodů A, B a azimuty <math> \alpha_A </math> a <math> \alpha_B </math> této geodetické křivky v bodech A, B. Geodetickou úlohu řešte na Besselově elipsoidu.


[http://scign.jpl.nasa.gov/learn/plate1.htm O struktuře Země 2]


[http://www.google.cz/#q=newton+integral+geodesy&hl=cs&prmd=ivnsb&ei=8u15TabVA83Zsgaw0ejTBw&start=0&sa=N&fp=1&cad=b K Newtonově integrálu v geodézii]
Výpočty provádějte s přesností na 0.001´´.


==Numerické zadání==
==Numerické zadání==
Numerické zadání s bodem A, azimutem <math>\alpha_A</math> a vzdáleností <math>s_{AB}</math> naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/gu/zadani v souboru '''zfg_2014_u3_xx.m''', kde '''xx''' je číslo zadání. Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení ZFG.


'''G''' = <math>6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
==Dokumenty ke stažení==
Parametry užívaných elipsoidů naleznete [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/gu/elipsoidy.png zde].


'''<math>\sigma</math>''' = <math>5520~kg.cm^{-3}</math>
Pro testování správnosti vašich výpočtů můžete využít modelové náhodně vygenerované zadání s přehledem výsledků [ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/gu/zfgul3_test.pdf zfgul3_test.pdf]. Pozn.: výsledky zatím neobsahují průsečík s Greenwichským poledníkem (časem opět doplním) - na vaše přání zveřejňuji již tyto dílčí výsledky.


'''<math>\sigma_1</math>''' = <math>3710~kg.m^{-3}</math>
<!--
==Název úlohy==
Gravitační potenciál a jeho derivace


'''<math>\sigma_2</math>''' = <math>2800~kg.m^{-3}</math>
==Zadání úlohy==
;Příklad 3.1
Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče '''<math>R</math>''' a střední hustoty '''<math>\sigma</math>''' konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace na jejím povrchu a ve vzdálenostech '''<math>r_i</math>''' od těžiště koule podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k vykreslení průběhu těchto tří funkcí.


'''r<sub>i</sub>''' = <math> [0, 15000]~km</math>, kde v uvedeném rozmezí zvolte alespoň 500 výpočetních bodů
;Příklad 3.2
Zemské těleso aproximujte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry '''<math>R_1</math>''', '''<math>R_2</math>''', '''<math>R_3</math>''' a hustotách '''<math>\sigma_1</math>''' a '''<math>\sigma_2</math>'''. Spočtěte opět hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé radiální derivace tohoto sféricky symetrického tělesa na rozhraních jednotlivých vrstev a ve vzdálenostech '''<math>r_i</math>''' od těžiště kulové dvojvrstvy; průběhy zkoumaných funkcí přehledně vykreslete a diskutujte. Popište jejich chování na rozhraních vrstev z hlediska spojitosti pomocí řešení limitních případů analytických vyjádření příslušných funkcí; v případě nespojitosti funkcí uveďte velikost skoku na daném rozhraní (analytické vyjádření velikosti skoku ověřte numericky). Porovnejte také případ koule a kulových vrstev.


''Pozn.: Analytické řešení limitních případů pro jednotlivá rozhraní kulové dvojvrstvy postačí v TZ uvést pouze pro druhou radiální derivaci gravitačního potenciálu.''


<!--Hustoty vrstev '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>''' převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A') podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A' spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Numerické hodnoty Bullenova modelu A' naleznete [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/BullenAdash.jpg zde].-->
==Doplňkový materiál==
 
[http://web.ics.purdue.edu/~braile/edumod/threedearth/threedearth.htm O struktuře Země - sestavte si 3D model]
<!--
<span style="color:#ff0000"> NOVĚ: </span>
Hodnoty ''n'' a ''k'' pro každého z vás jsou k dispozici [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/ul2_numzad_2010-11.pdf zde].
-->
 
{| class = "border"
|| číslo zadání
||  '''R1''' [km]
||  '''R2''' [km]
||  '''R3'''='''R''' [km]
|-
|  1  ||  5.4980672e+03  || 5.7980672e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  2  ||  5.4357323e+03  || 5.7357323e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  3  ||  5.5258561e+03  || 5.8258561e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  4  ||  5.3477134e+03  || 5.6477134e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  5  ||  5.4372130e+03  || 5.7372130e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  6  ||  5.4162712e+03  || 5.7162712e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  7  ||  5.3500736e+03  || 5.6500736e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  8  ||  5.5090122e+03  || 5.8090122e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  9  ||  5.3135652e+03  || 5.6135652e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  10 ||  5.2036682e+03  || 5.5036682e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  11 ||  5.4443418e+03  || 5.7443418e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  12 ||  5.1627636e+03  || 5.4627636e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  13 ||  5.5324734e+03  || 5.8324734e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  14 ||  5.3661806e+03  || 5.6661806e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  15 ||  5.5692351e+03  || 5.8692351e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  16 ||  5.4562480e+03  || 5.7562480e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  17 ||  5.5703237e+03  || 5.8703237e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  18 ||  5.4726266e+03  || 5.7726266e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  19 ||  5.4969083e+03  || 5.7969083e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  20 ||  5.4316005e+03  || 5.7316005e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  21 ||  5.4800561e+03  || 5.7800561e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  22 ||  5.4989025e+03  || 5.7989025e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  23 ||  5.2595795e+03  || 5.5595795e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  24 ||  5.1024499e+03  || 5.4024499e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  25 ||  5.0825225e+03  || 5.3825225e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  26 ||  5.4559841e+03  || 5.7559841e+03  || 6.3710000e+03
|-                                       
|  27 ||  5.3200109e+03  || 5.6200109e+03  || 6.3710000e+03                                   
|-
|}


==Numerické zadání==
<math>G = 6,672.10^{-11}~m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>


<math>R = 6371~km</math>


<!--
<math>\sigma = 5520~kg.m^{-3}</math>
{| class="border"
!rowspan="1" valign="top"| číslo zadání n
!colspan="1" |  parametr k 
|-
|  1||  90
|-     
|  2||  88
|-      
3||  88
|-     
|  4||  89
|-     
|  5||  90
|-     
|  6||  89
|-     
|  7||  88
|-     
|  8||  89
|-     
|  9||  88
|-     
|  10||  88
|-     
|  11||  89
|-     
|  12||  88
|-     
|  13||  89
|-     
|  14||  88
|-     
|  15||  88
|-     
|  16||  90
|-     
|  17||  89
|-     
|  18||  88
|-     
|  19||  88
|-     
|  20||  88
|-     
|  21||  89
|-     
|  22||  88
|-     
|  23||  89
|-     
|  24||  88
|-     
|  25||  89
|-     
|  26||  89
|-     
|  27||  88
|-     
|  28||  89
|-     
|  29||  88
|-     
|  30||  89
|-     
|  31||  89
|-     
|  32||  89
|-     
|  33||  89
|-     
|  34||  90
|-     
|  35||  88
|-     
|  36||  88
|-     
|  37||  88
|-     
|  38||  89
|-     
|  39||  89
|-     
|  40||  90
|-     
|  41||  88
|-     
|  42||  90
|-     
|  43||  90
|-     
|  44||  89
|-     
|  44|| 90
|}   -->


<math>r_i = [0, 20000]~km</math>, kde v uvedeném rozmezí zvolte dostatečný počet výpočetních bodů s ohledem na hladkost vykreslovaných křivek zkoumaných průběhů funkcí (např. 200 výpočetních bodů)


<!--
{|class="border"
{|class="border"
|  || '''kruh 61''' || '''kruh 62''' || '''kruh 63''' 
|-  
|-  
|  '''R<sub>3</sub>''' || R || R || R
|  '''R<sub>3</sub> =''' || R  
|-  
|-  
|  '''R<sub>2</sub>''' || R<sub>3</sub> - ''n'' . 2 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1 <math>km</math> || R<sub>3</sub> - ''n'' . 1,5 <math>km</math>  
|  '''R<sub>2</sub> =''' || R<sub>3</sub> - 3 . ( 10 + ''n'' ) <math>km</math>  
|-  
|-  
|  '''R<sub>1</sub>''' || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math> || R<sub>2</sub> - 100 <math>km</math>
|  '''R<sub>1</sub> =''' || R<sub>2</sub> - ( 400 + ''n'' ) <math>km</math>  
|-  
|-  
|  '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,67.10^3</math> || <math>2,80.10^3</math> || <math>2,75.10^3</math>
|  '''<math>\sigma_2</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>2,75.10^3</math>  
|-  
|-  
|  '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,35.10^3</math> || <math>3,71.10^3</math> || <math>3,66.10^3</math>
|  '''<math>\sigma_1</math>'''[<math>kg.m^{-3}</math>] || <math>3,64.10^3</math>  
|}
|}


Velikost ''n'' bude přidělena jednotlivcům na cvičení.
'''<math>\sigma_2</math>''' je hustota vnější vrstvy, '''<math>\sigma_1</math>''' je hustota vnitřní vrstvy.
 
Veličina ''n'' se rovná pořadovému číslu zadání studenta uvedenému na stránkách cvičení ZFG.
-->
-->
<!--
<!--
'''Přímá gravimetrická úloha'''
Hustoty vrstev '''<math>\sigma</math><sub>1</sub>''' a '''<math>\sigma</math><sub>2</sub>''' převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A') podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A' spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy. Numerické hodnoty Bullenova modelu A' naleznete [ftp://athena.fsv.cvut.cz/VG/FYG/uloha2/BullenAdash.jpg zde].
 
==Zadání úlohy==
V homogenním prostředí hustoty '''Σ''' je v hloubce '''ζ''' uloženo homogenní těleso ve tvaru nekonečně dlouhého vodorovného válce o poloměru '''a''' a hustotě '''σ'''. Vypočtěte a ve vhodném měřítku graficky zobrazte derivace gravitačního potenciálu Vz, Vzz, Vzzz a Vxz tohoto rušivého tělesa pro potenciálový bod na profilu '''x'''.
Pro srovnání vypočtěte a zobrazte průběh Vz a Vxz pro homogenní kouli týchž parametrů.
Výrazy pro výpočet těchto derivací si odvoďte z rovnice pro gravitační potenciál.
 
==Numerické zadání==
''hustota prostředí:'' '''Σ''' = 2670 <math>kg.m^{-3}</math>
 
''poloměr tělesa:'' '''a''' = 300 <math>m</math>
 
''výpočetní profil:'' '''x'''  od -2000 <math>m</math> do 2000 <math>m</math>
 
''geocentrická gravitační konstanta:'' '''G''' = <math>6,672.10^{-11} m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}</math>
 
''hustota a hloubka uložení tělesa:''
 
{|class="border"
!rowspan="2" | číslo zadání
!colspan="2" | kruh 61
!colspan="2" | kruh 62
!colspan="2" | kruh 63
!colspan="2" | kruh 64
!colspan="2" | kruh 65
|-
!'''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>] !! '''ζ'''[m] !! '''σ'''[<math>kg.m^{-3}</math>]
|-
|  1|| 350|| 5400||  350|| 4100||  350||  1300||  350|| 4600||  350|| 1000 
|-
|  2|| 375|| 5400||  375|| 4100||  375||  1300||  375|| 4600||  375|| 1000 
|-
|  3|| 400|| 5400||  400|| 4100||  400||  1300||  400|| 4600||  400|| 1000 
|-
|  4|| 425|| 5400||  425|| 4100||  425||  1300||  425|| 4600||  425|| 1000 
|-
|  5|| 450|| 5400||  450|| 4100||  450||  1300||  450|| 4600||  450|| 1000 
|-
|  6|| 475|| 5400||  475|| 4100||  475||  1300||  475|| 4600||  475|| 1000 
|-
|  7|| 500|| 5400||  500|| 4100||  500||  1300||  500|| 4600||  500|| 1000 
|-
|  8|| 525|| 5400||  525|| 4100||  525||  1300||  525|| 4600||  525|| 1000 
|-
|  9|| 550|| 5400||  550|| 4100||  550||  1300||  550|| 4600||  550|| 1000 
|-
|  10|| 575|| 5400||  575|| 4100||  575||  1300||  575|| 4600||  575|| 1000 
|-
|  11|| 600|| 5400||  600|| 4100||  600||  1300||  600|| 4600||  600|| 1000 
|-
|  12|| 625|| 5400||  625|| 4100||  625||  1300||  625|| 4600||  625|| 1000 
|-
|  13|| 650|| 5400||  650|| 4100||  650||  1300||  650|| 4600||  650|| 1000 
|-
|  14|| 675|| 5400||  675|| 4100||  675||  1300||  675|| 4600||  675|| 1000 
|-
|  15|| 700|| 5400||  700|| 4100||  700||  1300||  700|| 4600||  700|| 1000 
|-
|  16|| 725|| 5400||  725|| 4100||  725||  1300||  725|| 4600||  725|| 1000 
|-
|  17|| 750|| 5400||  750|| 4100||  750||  1300||  750|| 4600||  750|| 1000 
|-
|  18|| 775|| 5400||  775|| 4100||  775||  1300||  775|| 4600||  775|| 1000 
|-
|  19|| 800|| 5400||  800|| 4100||  800||  1300||  800|| 4600||  800|| 1000 
|-
|  20|| 825|| 5400||  825|| 4100||  825||  1300||  825|| 4600||  825|| 1000 
|}
-->
-->
<!-- -->
----
[[152ZFG Základy fyzikální geodézie | 152ZFG Základy fyzikální geodézie]]
{{Teoretická geodézie}}
{{Teoretická geodézie}}

Aktuální verze z 27. 3. 2014, 09:59

Název úlohy

Geodetická úloha na kouli a na elipsoidu

Zadání úlohy

Příklad 1

Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi bodu A a azimutem v tomto bodu . Vypočítejte pomocí vzorců sférické trigonometrie souřadnice a azimut v bodě B, který leží na této geodetické křivce v zadané vzdálenosti od bodu A. Výpočet proveďte na náhradní referenční kouli; poloměr této referenční koule volte roven střednímu poloměru křivosti Besselova elipsoidu v bodě A. Výsledek porovnejte s výsledkem příkladu 2.

Příklad 2

Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi bodu A a azimutem v tomto bodu . Vypočítejte souřadnice a azimut v bodě B, který leží na této geodetické křivce ve vzdálenosti od bodu A. Dále pro zadanou geodetickou křivku vypočítejte průsečík s nultým poledníkem a azimut geodetické křivky v tomto bodě. Geodetickou úlohu řešte na Besselově elipsoidu; zadané numerické hodnoty jsou shodné se zadáním příkladu 1.

Příklad 3

Je dána geodetická křivka na Besselově elipsoidu geodetickými souřadnicemi bodu A a geodetickými souřadnicemi bodu B (souřadnice jsou shodné se zadanými, resp. vypočtenými souřadnicemi bodů A, B z příkladu 2). Vypočítejte vzdálenost bodů A, B a azimuty a této geodetické křivky v bodech A, B. Geodetickou úlohu řešte na Besselově elipsoidu.


Výpočty provádějte s přesností na 0.001´´.

Numerické zadání

Numerické zadání s bodem A, azimutem a vzdáleností naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/ZFG/gu/zadani v souboru zfg_2014_u3_xx.m, kde xx je číslo zadání. Číslo zadání studenta odpovídá číslování uvedenému na stránkách cvičení ZFG.

Dokumenty ke stažení

Parametry užívaných elipsoidů naleznete zde.

Pro testování správnosti vašich výpočtů můžete využít modelové náhodně vygenerované zadání s přehledem výsledků zfgul3_test.pdf. Pozn.: výsledky zatím neobsahují průsečík s Greenwichským poledníkem (časem opět doplním) - na vaše přání zveřejňuji již tyto dílčí výsledky.


152ZFG Základy fyzikální geodézie